Équations aux dérivées partielles et
géométrie spectrale
Printemps 2012
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Le but de cours est de survoler quelques aspects de la théorie
des équations aux dérivées partielles en suivant une géodésique
vers quelques résultats choisis de géométrie spectrale. L'accent
sera mis sur les opérateurs elliptiques linéaires. Le contexte
sera géométrique.
Référence
Des notes de cours seront placées sur cette page chaque
semaine. Elles ne remplacent pas le cours, mais elles nous aideront
à organiser notre travail.
Pour préparer le cours, j'ai utilisé plusieurs références. En
voici quelques-une :
- Jürgen Jost,
Partial differential equations, Springer.
- Lawrence C. Evans,
Partial differential equations, American Mathematical
Society.
- David Gilbarg and Neil S. Trudinger,
Elliptic
partial differential equations of second order,
Springer.
- Isaac Chavel,
Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press.
- Antoine Henrot,
Extremum Problems for Eigenvalues of Elliptic
Operators,
Birkhauser.
- Lyonell Boulton et Michael Levitin,
Trends and Tricks in Spectral
Theory, Ediciones IVIC.
- Richard S. Laugesen, Spectral Theory of Partial Differential Equations.
Prérequis
Ce cours s'adresse aux étudiants du Master de mathématiques, il
est aussi accessible aux étudiants de troisième année. Pour
suivre ce cours, il est souhaitable d'avoir déjà suivit un cours
sur la mesure et l'intégration ainsi qu'un cours d'introduction
à l'analyse fonctionnelle.
Cours ex cathedra
Mercredi, 8h - 10h. Salle B104.
Exercices
Mercredi, 10h - 12h. Salle B104.
Évaluation
La note finale pour le cours sera calculée de la manière
suivante:
20% exercices + 80% examen oral
Chaque semaine, une note sera atribuée à vos exercices. La note
finale ne tiendra compte que de vos 10 meilleures séries.
Calendrier
Cliquez sur la date pour obtenir un résumé de la matière et la
liste des exercices correspondants.
- Introduction
22 février
Exemples et classification des EDP, séparation des
variables, les grandes questions.
- Fonctions harmoniques I
29 février
Définition, propriété de la moyenne, principe du maximum,
opérateur de Laplace sur une surface.
- Fonctions harmoniques II
7 mars
Solution fondamentale, fonction de Green, noyau de Poisson,
principe de Dirichlet.
- Espaces de Sobolev I
14 mars
Dérivées faibles. Espaces W^{1,2} et H^1_0. Inégalité de
Poincaré.
- Espaces de Sobolev II
21 mars
Plongement compact de H^1_0 dans L^2.
Solutions faibles du problème de Poisson.
(Les exercices sont à la suite de ceux du 14 mars)
- Régularité elliptique
28 mars
Exercice: Lire la section 8.3 du livre de Jost.
- Le spectre d'un opérateur elliptique
4 avril
Enfin le spectre ! Théorème spectral pour le problème de
Dirichlet. Caractérisations variationnelles de Rayleigh et
de Courant.
- 18 avril
a) Domaines nodaux des fonctions propres
Théorème de Courant. Théorème de Cheng sur les lignes nodales.
b) Asymptotique spectrale
La loi de Weyl.
- L'inégalité de Faber-Krahn
25 avril
Réarrangement, formule de co-aire.
-
La conjecture de Pólya
4 mai
Vérification pour les pavages du plan
- Le théorème de Szegő
9 mai
Les
graphes des trois premières fonction de Bessel
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