Équations aux dérivées partielles et
géométrie spectrale

Printemps 2012
Le but de cours est de survoler quelques aspects de la théorie des équations aux dérivées partielles en suivant une géodésique vers quelques résultats choisis de géométrie spectrale. L'accent sera mis sur les opérateurs elliptiques linéaires. Le contexte sera géométrique.


Référence
Des notes de cours seront placées sur cette page chaque semaine. Elles ne remplacent pas le cours, mais elles nous aideront à organiser notre travail. Pour préparer le cours, j'ai utilisé plusieurs références. En voici quelques-une :
  1. Jürgen Jost, Partial differential equations, Springer.
  2. Lawrence C. Evans, Partial differential equations, American Mathematical Society.
  3. David Gilbarg and Neil S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer.
  4. Isaac Chavel, Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press.
  5. Antoine Henrot, Extremum Problems for Eigenvalues of Elliptic Operators, Birkhauser.
  6. Lyonell Boulton et Michael Levitin, Trends and Tricks in Spectral Theory, Ediciones IVIC.
  7. Richard S. Laugesen, Spectral Theory of Partial Differential Equations.


Prérequis
Ce cours s'adresse aux étudiants du Master de mathématiques, il est aussi accessible aux étudiants de troisième année. Pour suivre ce cours, il est souhaitable d'avoir déjà suivit un cours sur la mesure et l'intégration ainsi qu'un cours d'introduction à l'analyse fonctionnelle.

Cours ex cathedra
Mercredi, 8h - 10h. Salle B104.

Exercices
Mercredi, 10h - 12h. Salle B104.

Évaluation
La note finale pour le cours sera calculée de la manière suivante:
20% exercices + 80% examen oral

Chaque semaine, une note sera atribuée à vos exercices. La note finale ne tiendra compte que de vos 10 meilleures séries.

Calendrier
Cliquez sur la date pour obtenir un résumé de la matière et la liste des exercices correspondants.
  1. Introduction
    22 février
    Exemples et classification des EDP, séparation des variables, les grandes questions.

  2. Fonctions harmoniques I
    29 février
    Définition, propriété de la moyenne, principe du maximum, opérateur de Laplace sur une surface.

  3. Fonctions harmoniques II
    7 mars
    Solution fondamentale, fonction de Green, noyau de Poisson, principe de Dirichlet.

  4. Espaces de Sobolev I
    14 mars
    Dérivées faibles. Espaces W^{1,2} et H^1_0. Inégalité de Poincaré.

  5. Espaces de Sobolev II
    21 mars
    Plongement compact de H^1_0 dans L^2. Solutions faibles du problème de Poisson.
    (Les exercices sont à la suite de ceux du 14 mars)

  6. Régularité elliptique
    28 mars
    Exercice: Lire la section 8.3 du livre de Jost.

  7. Le spectre d'un opérateur elliptique
    4 avril
    Enfin le spectre ! Théorème spectral pour le problème de Dirichlet. Caractérisations variationnelles de Rayleigh et de Courant.

  8. 18 avril
    a) Domaines nodaux des fonctions propres
    Théorème de Courant. Théorème de Cheng sur les lignes nodales.

    b) Asymptotique spectrale
    La loi de Weyl.

  9. L'inégalité de Faber-Krahn
    25 avril
    Réarrangement, formule de co-aire.

  10. La conjecture de Pólya
    4 mai
    Vérification pour les pavages du plan

  11. Le théorème de Szegő
    9 mai
    Les graphes des trois premières fonction de Bessel