Analyse fonctionnelle 2011

L'analyse fonctionnelle est un vaste sujet. Le but de ce cours est d'introduire les espaces de Hilbert et de Banach, ainsi que quelques-unes de leurs applications. Référence Des notes de cours seront placées sur cette page chaque semaine. Elles ne remplacent pas le cours, mais vous aideront probablement à organiser votre travail. Cours ex cathedra Mercredi, 8h - 10h. Salle B104. Évaluation La note finale pour le cours sera calculée de la manière suivante: 20% exercices + 80% examen oral Chaque semaine, une note sera atribuée à vos exercices. La note finale ne tiendra compte que de vos 10 meilleures séries. Exercices Vendredi, 9h - 11h. Salle B104. Cliquez sur la date pour obtenir un résumé de la matière et la liste des exercices correspondants. Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet 21 Septembre Espace vectoriel normé, normes équivalentes, espaces de suites, espaces de fonctions continues. Une biographie de Stefan Banach . Linéarité et continuité 28 Septembre Opérateurs linéaires non-continus, opérateurs bornés, norme opérateur, opérateur intégral de Fredholm. Une biographie d'Ivar Fredholm. Compacité dans les espaces fonctions continues 5 Octobre Rappels sur la compacité, équicontinuité, Théorème d'Arzelà-Ascoli, opérateurs compacts. Dualité 12 Octobre Ensembles ordonnés, Lemme de Zorn, Théorème de Hahn-Banach, plongement bidual. Complétion d'un espace normé 19 Octobre Plongements d'espaces métriques dans des espaces de Banach, plongement canonique bidual, complétions d'espaces métriques et normés. Algèbres de fonctions continues 26 Octobre Algèbre séparante théorème de densité de Stone-Weierstrass, densité polynomiale et trigonométrique. Théorème de l'application ouverte 2 Novembre Théorème de Baire, isomorphismes d'espaces de Banach. Espaces de Hilbert 9 Novembre Produit scalaire hermitien,inégalité de Cauchy-Schwarz,orthogonalité, projection sur les convexes fermés. Dualité et opérateurs adjoints 16 Novembre Théorème de représentation de Riesz-Fréchet, opérateurs adjoints. Quelques rappels de mesure et intégration. Bases hilbertiennes 23 Novembre Une base hilbertienne n'est pas une base de l'espace vectoriel sous-jacent, existence de base hilbertienne, espaces séparables et séries de Fourier, un espace non séparable. Le spectre d'un opérateur 30 Novembre Valeurs propres et spectre, l'ensemble des opérateurs inversibles est ouvert, spectre du décalage à droite et du décalage à gauche, opérateurs compacts, approximation par des opérateur de rangs finis, l'ensemble des opérateurs compacts est fermé. Le théorème spectral pour les opérateurs compacts 7 Décembre Lemme de Riesz, alternative de Fredholm, le spectre d'un opérateur compact est discret. Le théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints compacts 14 Décembre Preuve du théorème spectral, brève introduction aux opérateurs non-bornés, publicité pour le cours d'Équations aux Dérivées Partielles. 21 Décembre Quelques exercices supplémentaires pour vous aider à préparer l'examen.