Recherche en géométrie spectrale à l'Université Laval

Spectral geometry in the clouds
GEMSTONE

Équipe
  • Jade Brisson (Doctorat depuis 2019)
  • Mehdi Eddaoudi (Doctorat depuis 2019)
  • Samuel Audet-Beaumont (Maîtrise depuis 2020)
  • Léo Lortie (Maîtrise à partir de 2021)


La géométrie spectrale est une branche de l'analyse géométrique qui s'intéresse aux liens entre la géométrie d'un espace et ses modes de vibration propres. Mathématiquement, il s'agit d'investiguer les interactions entre les valeurs propres d'un opérateur différentiel (ou pseudo-différentiel) agissant sur les fonctions de cet espace, et les propriétés géométriques de l'espace lui même. Ces espaces sont par exemple des ouverts de l'espace euclidien $\mathbb{R}^n$, des surfaces, des variétés Riemanniennes ou des graphes métriques. Les valeurs propres représentent les niveaux d'énergie d'un système quantique, ou encore des fréquences de vibration propres. Les valeurs propres des problèmes que nous étudions forment une suite $0\leq\lambda_1\leq\lambda_2\leq\lambda_3\cdots\to\infty.$ Mon programme de recherche porte principalement sur des problèmes de type isopérimétrique. Mon but est de déterminer l'effet de diverses contraintes géométriques sur les valeurs propres, ou encore de découvrir sur un espace donné la métrique qui maximisera une valeur propre $\lambda_k$ donnée. Les contraintes portent sur le volume, les courbures de l'espace, la longueur du bord, etc. Mon opérateur préféré est l'opérateur de Dirichlet--Neumann, aussi connu sous le nom de voltage-to-current map. Cet opérateur a été introduit par Alberto Calderon autour de 1980, dans le contexte de problèmes inverses liés à la prospection géologique. C'est un opérateur qui agit sur les fontions lisses définies sur le bord d'une variété Riemannienne compacte. Il sert de modèle en tomographie par impédance électrique et permet l'étude de phénomènes d'invisibilité (mathematical cloaking). Les valeurs propres de l'opérateur de Dirichlet--Neumann sont connues sous le nom de valeurs propres de Steklov. Elles forment une suite divergente $0=\sigma_0\leq\sigma_1\leq\sigma_2\leq\sigma_3\cdots\to\infty$. En plus des sujets mentionnés plus haut, les valeurs propres de Steklov sont utiles en mécanique des fluides, en analyse d'images et aussi depuis peu en neuroscience computationnelle.

En géométrie différentielle, les fonctions propres associées au problème de Steklov permettent d'élucider des phénomènes liés à la théorie des surfaces minimales.

Studying at Laval University
I have projects for PhD and master students, as well as summer projects for undergraduates. There are several options for funding, including NSERC, FRQNT, ISM and local scholarships.

Please contact me if you are interested.

Quebec City is a French speaking city. If you don't already speak french, pursuing a Master degree or PhD in our department will provide an opportunity to learn the basics of french language (and Québécois culture!).

Anciens étudiants


Étudiants à la maîtrise
Projet de recherche estival CRSNG
  • Antoine Poulin (2019)
  • Catherine Bilodeau (2016)
  • Raphael-Jammes Lebel (2015)
  • Marc-Antoine Labrie (2014)
  • Étienne Martel (2014)
Projets de fin d'étude
  • Léo Lortie (2021)
    Introduction à la géométrie spectrale

  • Ralph Michaud (2021)
    Les mathématiques du cube Rubik

  • Marjorie Blais-Proulx
    La conjecture de Polya en géométrie spectrale

  • Jade Brisson (2018)
    Problèmes isopérimétrique pour la première valeur prorpe de Steklov d’un domaine du plan

  • Marianne Girard (2018)
    Théorie des nœuds et géométrie différentielle

  • Jérémie Deguire (2017)
    Autour des nombres réels: axiomatisations, constructions et unicité.

  • Catherine Bilodeau (2016)
    Les mathématiques du cube Rubik

  • Chantal Caron (2015)
    Méthodes géométriques en cartographie

  • Marc-Antoine Labrie (2014)
    Introduction à la théorie spectrale des graphes

  • Dominique Rioux-Gagnon (2014)
    Peut-on entendre la forme d'un tambour?